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考生注意：
1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .
2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .
一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数 =__________________ .
2． 已知集合 ， ，且 ，
则实数a的取值范围是______________________ .
3． 若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，
则x满足的条件是________________________ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱 的底面连长为2，高 为4，则异面直线 与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
6．函数 的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 ____________（结果用最简分数表示）.
8.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满足的等量关系是___________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9.已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =____________.
10.在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成图形的面积是________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11.当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_______________.
12．已知函数 .项数为27的等差数列 满足 ，且公差 .若 ，则当 =____________是， .
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 ， ， ， ， ， 为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14.将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的最大值为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15. 是“实系数一元二次方程 有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
（A） （B） （C） （D）
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18.过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B， 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， ,
,求二面角 的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（ ）， 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1） 证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 , , 。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线 设过点 的直线l的方向向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2） 证明：当 > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 。
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与 互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（1） 判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表达式。
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。
（1） 若 ，是否存在 ，有 说明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3） 若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续 项的和是数列 中的一项，请证明。
2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
解答
一、（第一题至第14题）
1. 2. 3. 4.
5 6. 1-- 7. 8.
9. 3 10. 11. 12.14
13. 14.
二．（第15题至第18题）
|
题号 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
代号 |
A |
B |
D |
B |
三. （第19题至第23题）
19.解 如图，建立空间直角坐标系。
则 A ，C ，A1 ，
B1 ，C1 ， …… 2分
设AC的中点为M， BM AC，BM CC1，
BM 平面AC1C，即 = 是平面
AC1C的一个法向量。 ……5分
设平面A1B1C的一个法向量是 = ，
= ， = ， …… 7分
= =0， = ， ，解得 。
= ， …… 10分
设法向量 与 的夹角为 ，二面角 。
…… 14分
21. （1）双曲线C的渐近线 ，即 …… 2分
直线 的方程 …… 6分
直线 与m的距离 …… 8分
（2） 设过原点且平行于 的直线
则直线 与 的距离 ，
当 时， 。 …… 12分
又双曲线C的渐近线为 ，
双曲线C的右支在直线 的右下方，
双曲线C的右支上的任意点到直线 的距离大于 。
故在双曲线C的右支上不存在点Q 到到直线 的距离为 …… 16分
假设双曲线C右支上存在点Q 到到直线 的距离为 ，
则 ， （1）
由（1）得 ， …… 11分
设
当 时， ：
…… 13分
将 代入（2）得 ，
，
故在双曲线C的右支上不存在点Q 到到直线 的距离为 …… 16分
22.解 （1）函数 的反函数是 ，
，
而 ，其反函数为
故函数 不满足“1和性质” …… 4分
(2)设函数 满足“2和性质”， 。
, …… 6分
而 ，得反函数 ， …… 8分
由“2和性质”定义可知 对 恒成立。
即所求一次函数 . ……10分
（3）设 且点 图像上，则 在函数
图像上，
故 可得 ， ……12分
令 ， . ……14分
综上所述， 此时 其反函数是 ，
而 故 互为反函数。 ……16分
23 解 （1）由 ， ……2分
整理后，可得 ， ， 为整数，
不存在 ，使等式成立。 ……5分
（2）解法一 若 即 ， （*）
（i）若 ，
当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求。……7分
（ii）若 ，（*）式等号左边取极限得 （*）式等号右只边只有当 时，才可能等于1，此时等号左边是常数， ，矛盾。
综上所述，只有当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求。
……10分
解法二 设 ，若 ，对 都成立，且 为等比数列，则 ，对 都成立，即 ，
，对 都成立， ……7分
（i）若 ， 。
（ii）若 ，则
综上所述， ，使对一切 ， 。 ……10分
（3） ，
设
，
， ， ……13分
取 ，……15分
由二项展开式可得整数 ，使得 ，
存在整数 满足要求。
故当且仅当 ，命题成立。 ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若 为偶数，则 为偶数，但 为奇数。
故此等式不成立， 一定为奇数。 ……1分
当 ，
而
当 为偶数时，存在 ，使 成立， ……1分
当 ，
也即 ， ，
由已证可知，当 为偶数即 为奇数时，存在 ， 成立，……2分
当 ，
也即 ，而 不是5的倍数， 当 所要求的 不存在，
故不是所有奇数都成立。 ……2分
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