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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝ πR3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)＝C P (1一P)
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题是真命题的为
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．函数 的定义域为
A． B．
C． D．
3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
A．50 B．45 C．40 D．35
4．函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
5．已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时， ，则 的值为
A． B． C．1 D．2
6．若 能被7整除，则 的值可能为
A． B．
C． D．
7．设 和 为双曲线 的两个焦点，若 ， ，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．3
8．公差不为0的等差数列 的前 项和为 ．若 是 与 的等比中项， =32，则 等于
A．18 B．24 C．60 D．90
9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC = BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
10．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
A． B． C． D．
11．如图所示，一质点P(x，y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x，0)的运动速度V = V（t）的图像大致为
12．若存在过点（1，0）的直线与曲线 和 都相切，则a等于
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或7
第II卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．已知向量 ＝（3，1）， ＝（1，3）， ＝（k，2），若（ ）⊥ ，则k=
14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于
15．若不等式 的解集为区间[a，b]，且b – a = 1，则k=
16．设直线系 ，对于下列四个命题：
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设函数 .
（1）对于任意实数x， 恒成立，求m的最大值；
（2）若方程 有且仅有一个实根，求a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 ．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
19．（本小题满分12分）
中，A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
（1）求C；
（2）若 ，求 ，b， ．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ．以 的中点 为球心、 为直径的球面交 于点M．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角；
（3）求点 到平面 的距离．
21．（本小题满分12分）
数列 的通项 ，其前 项和为 .
（1）求 ；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
22．（本小题满分14分）
如图，已知圆G： 是椭圆 的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E、F两点，证明：直线EF与圆G相切．
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学试题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．A
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．0 14． 15． 16．ABC
三．解答题：本大题共6小题，共74分．
17．解：（1） ，
因为 ， ，即 恒成立，
所以 ，得 ，即m的最大值为 ．
（2）因为当 时， ；当 时， ；当 时，
所以当 时， 取极大值 ，
当 时， 取极小值 ，
故当 或 时，方程 仅有一个实根．
解得 或 ．
18．解：（1）设A表示资助总额为零这个事件，则
．
（2）设B表示资助总额超过15万元这个事件，则
．
19．解：（1）由 ，得 ，则有
得 ，即 ．
（2）由 ，推出 ；而 ，
即得 ，
则有 解得
20．解：方法一：
（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则有BM⊥PD．
因为PA⊥平面ABCD，则有PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则有AB⊥PD，因此有PD⊥平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）设平面ABM与PC交于点N，因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，
则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 就是PC与平面ABM所成的角，且 ，
，
所求角为 ．
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，
则 就是D点到平面ABM距离．
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD中点， ，
则O点到平面ABM的距离等于 ．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
设平面ABM的一个法向量 ，由 ⊥ ， ⊥ 可得
，令 ，则 ，即 ．设所求角为 ，
则 ，
所求角的大小为 ．
（3）设所求距离为 ，由 ， ，得 ．
21．解：（1）由于 ，故
故
（2） ，
，
，
两式相减得
故 ．
22．解：（1）设 ，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H，
由 得 ，即 ， （1）
而点 在椭圆上，所以
（2）
由（1）、（2）式得 ，解得 或 （舍去）．
（2）设过点 与圆 相切的直线方程为：
（3）
则 ，即 （4）
解得 ， ．
将（3）代入 得 ，
则异于零的解为 ．
设 ， ，则 ，
于是直线FE的斜率为： ，
从而直线FE的方程为： ，
即 ，
则圆心 到直线FE的距离 ，
故结论成立．
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