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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.巳知全集 ，集合 和 的关系的韦恩（ ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
2.设 是复数， 表示满足 的最小正整数 ，则对虚数单位 ，
3.若函数 是函数 （ 且 ）的反函数，其图像经过点 ，则
4.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
5.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
科网6.一质点受到平面上的三个力 ， ， （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 成 角，且 ， 的大小分别为２和４，则 的大小为
7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
36种 12种 18种 48种
2
8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 和 （如图2所示）．那么对于图中给定的 和 ，下列判断中一定正确的是
在 时刻，甲车在乙车前面
时刻后，甲车在乙车后面
在 时刻，两车的位置相同
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（９～１２题）
9.随机抽取某产品 件，测得其长度分别为 ，则图3所示的程序框图输出的 ， 表示的样本的数字特征是 。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“=”）
10.若平面向量 ， 满足 ， 平行于 轴， ，则 。
学
11.已知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 的方程为 。
12.已知离散型随机变量 的分布列如右表．若 ， ，则 ， 。
（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）
13.（坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与直线 （ 为参数）垂直，则 。
14.（不等式选讲选做题）不等式 的实数解为 。
15. (几何证明选讲选做题）如图4，点 是圆 上的点， 且 ，则圆 的面积等于 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.已知向量 互相垂直，其中 。
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值。
17.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间 进行分组，得到频率分布直方图如图5
（1）求直方图中 的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示．已知
故一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数 （天）
【考点描述】概率与统计。
18.如图６，已知正方体 的棱长为２，点Ｅ是正方形 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 的中点。设点 分别是点Ｅ、Ｇ在平面 内的正投影。
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线 ；
（３）求异面直线 所成角的正弦值。
19.已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 。设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合。
（１）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；
（２）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值。
得极小值 。设 。
（１）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（２） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点。
21.已知曲线 。从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 。
（１）求数列 的通项公式；
（２）证明： 。
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