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数 学 试 题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
在本试题上答题无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题的四个选项中，只有一个符合题意，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．－2的相反数是
A．－2 B．2 C． D．－
2．下列运算正确的是
A．x2 + x3 = x5 B．(－ x2 )3 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．－2x·x2 =－2x3
3．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．如图所示几何体的左视图是
A． B． C． D．
5．在同一直角坐标系中，函数 与 图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
6．计算 的结果为
A．1 B．2 C．－1 D．－2
7．为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且 、 、 、 . 根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是
A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙
8．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于
A．30° B．45°
C．60° D．75°
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。请将答案填入答题卡相应位置）
9．分解因式：x2－4= .
10．为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出40000亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长. 这个数用科学记数法表示为 亿元.
11．函数 中自变量x的取值范围是 .
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是 cm.
13．如图，点B、E、F、C在同一直线上. 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使
△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 (写出一个即可）.
14．方程 的解是 .
15．小亮测得一圆锥模型的底面半径为5cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是 cm2（结果保留三个有效数字）.
16．观察下列一组数： ， ， ， ，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是 .
17．在3 □ 2 □（－2）的两个空格□中，任意填上“+”或“－”，则运算结果为3的概率是 .
18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，
MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的
任意一点，则PA+PC的最小值为 .
三、解答题（本大题共8小题，共96分。把解答书写到答题卡的相应位置）
19．（10分）计算：
20．（10分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
21．（10分）如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC .
求证：AC⊥BC .
22．（12分）为纪念古田会议80周年，我市某中学团委拟组织学生开展唱红歌比赛活动，为此，该校随机抽取部分学生就“你是否喜欢红歌”进行问卷调查，并将调查结果统计后绘制成如下统计表和扇形统计图.
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态度 |
非常喜欢 |
喜欢 |
一般 |
不知道 |
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频数 |
90 |
b |
30 |
10 |
|
频率 |
a |
0.35 |
0.20 |
请你根据统计图、表提供的信息解答下列问题：
（1）该校这次随机抽取了 名学生参加问卷调查；
（2）确定统计表中a、b的值：a = ，b = ;
（3）在统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是 度；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生有 人.
23．（13分）阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.
数学老师给小明同学出了一道题目：在图23－1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使 ， ；
小明同学的做法是：由勾股定理，得 ， ，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC.（1）请你参考小明同学的做法，在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ （ 点位置如图所示），使 = =5， .（直接画出图形，不写过程）；
（2）观察△ABC与△ 的形状，猜想∠BAC与∠
有怎样的数量关系，并证明你的猜想.
24．（13分）永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”
的组成部分，是闽西的旅游胜地. “永定土楼”
模型深受游客喜爱. 图中折线（AB∥CD∥x轴）
反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买
数量x（个）之间的函数关系.
（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；
（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型 总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？(总金额=数量×单价)
25．（14分）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）.
试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.
26．（14分）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
2009年龙岩市初中毕业、升学考试
参 考 答 案 及 评 分 标 准
数 学
说明：评分最小单位为1分。若学生解答与本参考答案不同，参照给分。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D
二、填空题（每小题3分，共30分。注：答案不正确、不完整均不给分）
9．（x＋2）(x－2). 10．4 × 104 . 11．x ≤ 2. 12．6.
13．AB = DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）.
14． (只写 也对). 15．110. 16． . 17． . 18． .
三、解答题（共96分）
19．（10分）解：原式= 3－1＋2＋2 × …………………………8分
= 5 …………………………………………10分
20．（10分）解：由①，得x ≥ 1 …………………………………3分
由②，得x < 4 …………………………………6分
∴原不等式组的解集是：1 ≤ x < 4 ……………8分
…… 10分
21．（10分）证明：连接OD ……………………………1分
∵OA = OD， ∴∠1 =∠3； …………3分
∵AD平分∠BAC，∴∠1 =∠2；
∴∠2 =∠3；…………………………6分
∴OD∥AC，…………………………7分
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC …………………………8分
∴AC⊥BC ………………………10分
22．（12分）（1）200；……………………………………3分
（2）a = 0.45， b = 70 ……………………7分（每空2分）
（3）126；……………………………………9分
（4）900. ……………………………………12分
23．（13分）（1）正确画出△ （画出其中一种情形即可）6分
（2）猜想：∠BAC =∠ ………………8分
证明：∵ ， ；
∴ ， …………………………10分
∴△ABC ∽ △ ，
∴∠BAC =∠ ……………………………13分
24．（13分）
解：（1）当10 ≤ x ≤ 20时，设y = kx＋b（k≠0）……11分
依题意，得 ………………………3分
解得 ………………………………………5分
∴当10 ≤ x ≤ 20时，y =－5x＋250 …………6分
（2）∵10 × 200 < 2625 < 20 × 150
∴10 < x < 20 ………………………………………8分
依题意，得xy = x（－5x＋250）= 2625 …………10分
即x2－50x＋525 = 0
解得x1 = 15， x2 = 35（舍去）
∴只取x = 15. ……………………………………12分
答：该旅游团共购买这种土楼模型15个 …………13分
25．（14分）
（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB = AD，∠1 =∠2 ………………………2分
又∵AN = AN
∴△ABN ≌ △ADN ………………………4分
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°，
在Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2 ，
∴点M到AD的距离为2 . ………………………………………6分
易求AH=2，则DH=6＋2=8. ………………………………………7分
在Rt△DMH中，tan∠MDH= ，
由①知，∠MDH=∠ABN=α.
故tanα= …………………… 9分
（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形
此时，∠CAD=45°.
下面分三种情形：
Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°.
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；……………10分
Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°.
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；………… 11分
Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，
由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4，从而CM=CN，
易求AC=6 ，∴CM=CN=AC－AN=6 －6，
故x = 12－CM=12－（6 －6）=18－6 …………………………13分
综上所述：当x = 6或12 或18－6 时，△ADN是等腰三角形 ………………… 14分
（说明：对于Ⅰ）、Ⅱ）分类只要考生能写出x=6，x=12就给2分）
26．（14分）
解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分
∴ 解得
∴抛物线的解析式为： …… 4分
（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得 .
解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ……………………………… 6分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，－1）. ………………………………………………… 7分
把x=3代入 ，得 ，
∴点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8分
（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分两种情形：
①当S1∶S2 =1∶3时， ，
此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得 ，则QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由S1=2，得 ，解得 ；………………… 11分
②当S1∶S2=3∶1时，
此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由S1= 6，得 ，解得 .
综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）……… 14分
法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，
此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则 ，解得 ，
∴ . 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1， .
下面分两种情形：
①当S1∶S2 = 1∶3时， = 2；
∴4a－7 = 2，解得 ；……………………………………………… 12分
②当S1∶S2 = 3∶1时， ；
∴4a－7 = 6，解得 ；
综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）………… 14分
[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出 或 两个答案，就给6分. ]
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