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例4．求出方程的所有正整数解。
解：先求最小解。令
当时，；当时，；当时，。所以的最小解为，于是：
例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？
解：设为圆上任一整点，则其方程为：；
显然为方程的4组解。
但当时，（因为199是质数），此时，是一组勾股数，故199可表示为两个正整数的平方和，即。
因为，可设，
则
这与199为型的质数矛盾！
因而圆O上只有四个整点。
例6．求所有满足的正整数三元组。
解：两边取，得，所以是偶数，再得，所以也是偶数。此时令
于是，由可知：；
由唯一分解定理：，，
从而
注意到17是奇数，所以要使成立，一定有。
于是。
当时，在的两边取，得，这显然是不成立的，所以，从而。
故方程只有唯一的一组解（2，2，2）。
例7．是一个给定的整数，当为何值时，的方程有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程。
解；若有质数，，则，从而，矛盾！所以。
因此当且仅当。
因为，显然，所以当且仅当。（*）
（1）若时，，所以或，或；
（2）类似地，若，则，所以或，或；
（3）由于条件（*），不妨设；
若，则，所以；
若，则因为，所以存在，使得：
，
所以，。
因为，所以必有。
所以，故
所以，所以或
当时，；
当时，，对应的为1或2。
由条件（*）知以及也是原方程的解，对应的整数为14或9。
综上，当时原方程有整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。
例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。
证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为，则是平方数，则必有。
因为，故存在整数中一奇一偶，，使得（不妨设是偶数）。
由于是完全平方数，而知两两互素，故它们是平方数，
即，
所以即
因为是奇数，易知，于是与中有一个是，另一个是，而；
另一方面，得
所以，以为边的三角形都是直角三角形，其面积等于是平方数，
但是，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛盾！
GOOGLE的，小学生能懂吗？大人也不懂，哈哈，谢谢
