所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 

基础知识 

1．不定方程问题的常见类型： 

（1）求不定方程的解； 

（2）判定不定方程是否有解； 

（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 

2．解不定方程问题常用的解法： 

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； 

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； 

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； 

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； 

（5）无穷递推法。 

以下给出几个关于特殊方程的求解定理： 

（一）二元一次不定方程（组） 

定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 

定理1.方程有解的充要是； 

定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成 

为任意整数)。 

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是. 

方法与技巧： 

1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止； 

2．解元一次不定方程时，可先顺次求出， 

……，.若 ，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组： 

求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。 

3．个元一次不定方程组成的方程组，其中，可以消去个未知数，从而消去了个不定方程，将方程组转化为一个元的一次不定方程。 

（二）高次不定方程（组）及其解法 

1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组； 

2．同余法：如果不定方程有整数解，则对于任意，其整数解满足，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石； 

3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 

4．无限递降法：若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。 

方法与技巧： 

1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会； 

2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试； 

3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式； 

4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 

（三）特殊的不定方程 

1．利用分解法求不定方程整数解的基本思路： 

将转化为后，若可分解为，则解的一般形式为，再取舍得其整数解； 

2．定义2：形如的方程叫做勾股数方程，这里为正整数。 

对于方程，如果，则，从而只需讨论的情形，此时易知两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。 

定理3.勾股数方程满足条件的一切解可表示为： 

，其中且为一奇一偶。 

推论：勾股数方程的全部正整数解（的顺序不加区别）可表示为： 

其中是互质的奇偶性不同的一对正整数，是一个整数。 

    勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。 

3．定义3.方程且不是平方数)是的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。 

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