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不定方程

查询数二年上末的详细结果


这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程的研究，其中都是整数，且非平方数，而。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解，则称使的最小的正整数解为它的最小解。 

定理4.Pell方程且不是平方数)必有正整数解，且若设它的最小解为，则它的全部解可以表示成： 

. 

上面的公式也可以写成以下几种形式： 

（1）；（2）；（3）. 

定理5.Pell方程且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为，则它的全部解可以表示为 

定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程为整数)无正整数解。 

费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。 

典例分析 

例1．求不定方程的整数解。 

解：先求的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法： 

，， 

将上述过程回填，得： 

由此可知，是方程的一组特解，于是，是方程的一组特解，因此原方程的一 切整数解为：。 

例2．求不定方程的所有正整数解。 

解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得： 

因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两边，得，令为整数，由此得。 

经观察得是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：，所以原方程的一切整数解为：。 

例3．求不定方程的正整数解。 

解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数的取值范围，因为的最小值为1，所以。 

当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且故方程组有5组正整数解，分别为，，，，； 

当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别为：，，； 

当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别为：，； 

当时，原方程变形为，即，故方程只有一组正整数解，为。 

故原方程有11组正整数解（如下表）： 

   

2 
   

4 
   

6 
   

8 
   

10 
   

2 
   

4 
   

6 
   

2 
   

4 
   

2 

   

13 
   

10 
   

7 
   

4 
   

1 
   

9 
   

6 
   

3 
   

5 
   

2 
   

1 

   

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