二、熵与几率

熵（Entropy）概念是克劳修斯于1865年正式提出，并且至今仍活跃在学术界的一个十分重要的理论术语。克劳修斯用熵表示热力学系统转化为有用功的能力，他规定，一个热力学系统越是接近平衡态，他的熵越大，其数学公式可表述为

dS≥dQ/T

其中S为熵 ，T为温度，Q为热量。在克劳修斯熵和麦克斯韦等人的工作基础上，玻耳兹曼通过对分子运动的进一步研究，把熵与热力学几率联系起来，即使热力学系统的熵变的方向同系统状态变化的方向联系起来，使熵有了更深刻的涵义。

玻耳兹曼这一成就的取得绝不是一蹴而就的事情，是他十多年坚韧不拔、楔而不舍奋斗的光辉结晶。1872年，玻耳兹曼在“气体分子热平衡问题的进一步研究”一文中，分析讨论了已知能量的分子的迁移和碰撞而发生变化的变化率之后，推导出了一个描写非平稳态分子速度分布函数的积分微分方程。1875年，他运用分布函数及其对数的乘积在相空间中的积分，定义了一个热力学函数，用符号H表示，并且证明，在一个孤立系统里，H总是随时间面单调减少或不增加，即当满足细致平衡条件时，H保持它的极小值而不再变化，说明系统的分子速度按麦克斯韦分布律分布，这时系统处于稳定状态。其数学表达式为

dH/dt≤0

称之为玻耳兹曼最小定理，亦称为“H定理”。这一定理既直接隐含了时间之矢的深刻思想，也证明了热力学平衡态的存在。在此基础上，玻耳兹曼把熵同H函数联系起来，使熵定义解释为能的自发运动，并把克劳修斯熵定义推广到非平衡态。 
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作者: titant   发布日期: 2005-12-12

1876年，曾对玻耳兹曼产生过重要影响的洛希密脱老师，对玻耳兹曼的观点提出了尖锐批评。问题的症结在于，按照力学的观点，分子的微观运动是可逆的，牛顿定律对时间的反演是对称的。然而，在宏观意义上，H函数却是有方向性的，这显然违反了早已被物理学家奉为“经典”的时间反演对称性的观念。为了回答老师的批评，玻耳兹曼于1877年在“论热力学第二定律与几率的关系，或平衡定律”的著名论文中，运用几率方法进行推算，把熵S与热力学状态的几率w联系起来，从而得出热力学第二定律是关于几率定律的重要结论。1900年，物理学家普朗克（M. Plank)将玻耳兹曼熵与热力学几率的关系简写为

S=klogW

式中，k为玻耳兹曼常数。这一公式至今仍刻在玻耳兹曼的墓碑上。

按照几率的推理方法，玻耳兹曼在分析过程中必须假定分子速度只能取分立的数值，而不能取无限多的连续值，这在一定程度上包含了分立能级的思想。1900年，普朗克在利用玻耳兹曼的方法推导他的黑体幅射定律时，明确提出了作为现代物理学标志的普朗克能量子假设，掀开了量子时代的帷幕。

玻耳兹曼通过熵与几率的联系，直接沟通了热力学系统的宏观与微观之间的关联，并对热力学第二定律进行了微观解释。他指出，在热力学系统中，每个微观态都具有相同几率，但在宏观上，对于一定的初始条件而言，粒子将从几率小的状态向最可几状态过渡。当系统达到平衡态之后，系统仍可以按照几率大小发生偏离平衡态的涨落。这样，玻耳兹曼通过建立熵与几率的联系，不仅把熵与分子运动论的无序程度联系起来，而且使热力学第二定律只具有统计上的可靠性。

玻耳兹曼认为，在理论上，热力学第二定律所禁止的过程并不是绝对不可能发生的，只是出现的几率极小而已，但仍然是非零的。根据这些思想，玻耳兹曼对当时著名的“可逆性佯谬和循环佯谬”进行了解释。在多年精心研究基础上，1896与1898年玻耳兹曼分别完成了至今仍具有重要学术价值且被译成多种文字的经典名著《气体理论讲义）。为20世纪物理学的发展由“存在”转向“演化”的过程迈出了决定性的一步。

三、教学风格

在从事科学研究与教学的领域内，玻耳兹曼是一位难得的全才。在他一生所发表的科学论文中，围绕分子运动论的文章仅占其全部论文的一半，另一半论文涉及到电磁学、化学、数学和哲学等多个领域。宽广的研究领域为玻耳兹曼带来了渊博精深的知识享受；精益求精的教学风格使玻耳兹曼赢得了大批优秀学生的青睐；杰出的科学成就为玻耳兹曼一生活跃于讲坛与学术界打下了坚实的基础。

1873年在格拉茨经过四年讲师锻炼的玻耳兹曼被维也纳大学聘任为数学教授，这标志着玻耳兹曼的工作和能力已得到了社会及同行的承认。从1873年被聘为教授到1906年去逝之前，由于生活及工作方面的原因玻耳兹曼在四个著名的大学担任教授职务，具体时间见表一（略）。

在各所大学中，玻耳兹曼所讲授的课程主要有热力学、电磁学、数学、化学，晚年在维也纳大学继任了马赫的职位，重新组建了维也纳大学哲学研究所，并开设了哲学讲座。

玻耳兹曼是一位天才的雄辩者和演讲家，他讲课的思路十分清晰，从不照本宣读。在讲课中，他十分注重培养学生的理解能力，从常见的自然现象出发，以各种生动的实例对一些基本概念进行不厌其烦地、深入浅出地反复论证，使学生一通百通地理解、掌握、运用基本概念和基本原理。凡是系统地听过玻耳兹曼讲座的学生，都感受到当理解了一个基本原理和概念的真谛时那种豁然顿悟的内在乐趣，欣赏到理性思维的威力。

除了认真细致地引导学生的学习之外，玻耳兹曼经常为讲座自制教学仪器，试图以现象化的方式，诱引学生理解深奥的理论背景。例如，1891年，玻耳兹曼为了讲好电磁学理论，专门设计了关于两个电路相互感应的双循环“力学模型”，对于初学者而言，这种现象化的教学所带来的启发无疑是难以估量的。几年后，量子理论的奠基者索未菲（A. sommerfeld）就曾经把玻耳兹曼的设计模型在他的力学教材中以相似的性质用于汽车分速器上。

玻耳兹曼十分注重挖掘学生应有的潜力，通过对学生意志、愿望、兴趣的培养，使学生养成学研相兼的良好学习习惯。例如1890年，玻耳兹曼应聘到慕尼黑大学任理论物理学教授之后，他经常把学生请到家中，和学生谈心，了解学生的发展意向。在启发式的交谈中，他经常通过讲授自己的个人经验和体会，把谈话中心诱导到对科学前沿问题的探讨方面。深奥的交谈有时在他熟练的钢琴弹奏曲中变得轻松起来。玻耳兹曼给学生留下的这种无拘无束、和蔼可亲、热情好客的个性特征同他满脸胡子给人留下的威严相貌形成了强烈的反差。

专博相融的基础知识、深入浅出的雄辩才华以及日益提高的科学威望，使玻耳兹曼领导的研究所成为世界各国优秀学生向往的理想场所；理论与实验相结合的教学风格、启发式的心理与兴趣的精心诱导以及研究方向的合理选择，使玻耳兹曼培养出了一代杰出的科学人才

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