论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人．可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡
献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽．
庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Re－ndus)中发表了一些短
文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的
五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的．庞加莱认为，他在代数拓扑学方
面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法．我们
现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖
分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵
计算贝蒂(E．Betti)数的方法．籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在
称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的
概念．在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系
，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式
的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理．有人这样
正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思
想和方法．
此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题．在两篇论文
中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2=F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面
的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推广铺平了
道路．
3．阿贝尔函数和代数几何学．当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏
尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域
发生了浓厚的兴趣．他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差
不多，时间是从1881年到1911年．这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化
”．庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般
的“完全可约性定理”．并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结
果和研究某些函数特殊性质的出发点．
庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，
y，z)=0中所包含的代数曲线的几篇论文．他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和
F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)
、F．恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理．在其他问题上，他的方法也极有价值，看
来它的有效性还远远没有穷尽．
4．数论．在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义．他的最后一篇
数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇
论文．这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x，y)=0上具有有
理数坐标的点，其中f的系数是有理数．庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有
限的．这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)
推广到任意亏格的曲线(1929年)．他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)
函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的
计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点．莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为
基本的定理，但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地
钻研他的论文也许会导出新的结果．
5．代数学．庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分
析问题中需要代数结果时才去研究它．例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数
≥3的型，其上作用着连续自同构群．与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素
乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪
(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章．庞加莱在1903年关于线性微分方程的代
数积分的文章又回到交换代数的研究上来．他的方法使他引进一个方程的群代数，并把
它分解为C上的单代数(即方阵代数)．他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明
方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和．
庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数
学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家
．1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel
)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李
