品计算在内．由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国
、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏．早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1
906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高
荣誉．
庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学
和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师．他的研究和贡献涉及数学的
各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分
方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他
的工作．
1．函数论．如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪．庞加莱
是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角．
所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数．自守函数是圆函数、
双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的
，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色．
自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z′=(az+ b)/(cz+d)或这个群的某些
子群作用下的不变函数，其中a，b， c，d可以是实数或复数，而且ad-bc=1．此外，在
复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的．更一般的自守函数则是为研究二阶
线性微分方
1880年以前，F．克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在188
1年至1882年与庞加莱合作．庞加莱在受到I．L．富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意
到这件事后，对这个课题已作了先行的工作．他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新
的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数．后来
，庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群
叫克莱因群．对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变
的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数．这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本
域比圆要复杂．此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数
的n阶线性方程的积分．这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函
数来解了．
自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广
的理论的出发点．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或
者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．
阿达玛(Hadamard)和 E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，
这个理论在80年之后仍然尚未研究完．
自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的
完备集或奇点的曲线．庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理
函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论．代数曲
线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值
化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射．
尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在．他得
到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商．在1898年，
他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中
加以应用．他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的
推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽．庞加莱也对多复变
函数的重积分的 “残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题作了
多次尝试而揭示出严重困难之后进行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中
产生了完满的结果．
2．
