数 学 命题人：吴宝泉
选择题
1．乘积(a1+a2+a3+a4)·(b1+b2+b3)·(c1+c2)展开后的项数是：
A．9项 B．11项 C．12项 D．24项
2．设集合A={1,2,3,…,10},B是A的三元子集,且至少有2个偶数,则这样的集合B的个数是
A．60 B．100 C．120 D．720
3．等边△ABC边长是1，以BC边上的高AD为轴折成60°和二面角，则此时点A到BC的距离是
A． B． C． D．
4．关于直线a、b、l以及平面M、N，下列命题中正确的是
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
D．若a⊥M，a∥N，则M⊥N
5．长方体的一个顶点上三条棱的长为3、4、5，且它们的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积为：
A．20π B．25π
C．50π D．200π
6．在空间四边形各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，则
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上也不在直线AC上
7．如图所示，棱长为1的正方体中，M、N分别为A1B1、B1B的中点。 那么AM 与CN所成的角的余弦值是：
A． B．
C． D．
8．一个正n面体共有20个顶点，每个顶点处有3条棱，则这是：
A．正六面体 B．正八面体 C．正十面体 D．正十二面体
9．8个人坐成一排，现调换3个人的位置，其余5个人位置不动的调换方法数为
A．C83 B．A83 C．2C83 D．2A83 .
10．有下面四个命题：
（1）“直线a，b为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a,b不相交”；
（2）“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；
（3）“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行b所在的平面”；
（4）“直线a∥平面”的必要而不充分条件是“直线a平行于内的一条直线”。
其中正确命题的序号是
A．（1），（3） B．（2），（3） C．（2），（4） D．（3），（4）
11．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件是一等品的抽查方法的种数是
A．CC B．CC+CC+CC
C．C+C D．C+C+C
12．三条直线两两异面，其中，所成角为，直线与所成的角都等于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题
13．如图所示的开关电路中，开关a，b，c或开或关，则灯亮的可能情形有 种。
14．若一个三角形,采用斜二测画法作出直观图,其直观图的面积是原三角形面积
的 倍。
15．已知P(cosθ·cosα,cosθ·sinα,sinθ)、Q(cosα,sinα,0)（π＜θ＜2π）是以原点O为球心的球面上的两个点，则P、Q两点间的球面距离为 。
16．在正方体AC1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 。
一、选择题答题卡（60=12×5）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
D
C
B
D
D
C
C
B
B
二、填空题答题卡（16=4×4）
13．5 14． 15．2π－θ 16．线段B1C
三、解答题：（12＋12＋12＋12＋12＋14=74）
17、用排列数公式证明：A=m·A＋A并建立模型说明之。
解：由排列数公式可知：A=
而：m·A＋A=m·＋=
== A (6分）
建模：从n+1个人中选取m个人作排列，排列数为：A；
其中，含甲的排列数为：m·A；不含甲的排列数： A（m≤n)。
故：A=m·A＋A （12分）
18．曲阳高中高一年级数学兴趣小组有6名男生，4名女生，高二年级数学兴趣小组有4名男生，3名女生，高三年级数学兴趣小组有5名男生，5名女生.
①若从每个年级中各选一名学生代表学校参加市数学竞赛，有多少种不同选法?
②若从每个年级中各选出一名男生一名女生，有多少种不同选法?
③若从三个年级中选出一名男生一名女生，且男女生不同年级，有多少种不同选法?
解：①10×7×10=700； （4分）
②6×4×4×3×5×5=7200 （8分）
③6×(3+5)+4×(4+5)+5×(4+3)=119 (12分）
19．如图所示，在正四棱柱AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点， D1F⊥平面ADE，AB=2；①求D1D；②求二面角E—AD—F的大小。
解：①如图所示建立空间直角坐标系，设D1(0,0,2a)，A(2,0,0)，E(2,2,a)，F(0,1,0)
∴=(0,1,-2a)，=(0,2,1)，=(2,0,0) ,∵D1F⊥ADE，∴⊥，⊥
∴·=2－2a=0，∴a=1；∴D1D=2；
②易知：∠EAB为所求的二面角的平面角。tan∠EAB=，∴∠EAB=arctan。
或与所成的角的大小为二面角的大小。
=(0,0,－2)，=(0,1,-2)
∴·=4，||·||=2
∴cosθ= ∴tanθ=
∴θ=arctan。
20．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4，①求DG的长；②求截面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的正切值；③求此多面体的体积。
解：①如图建立空间直角坐标系，则：A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(0,4,0)，E(1,4,3)，F(0,4,4)
G(0,0,z)。∵长方体的相对侧面互相平行，截面AEFG是一个平行四边形，
即：=，而：=(-1,0,1)，=(-1,0,z) ∴z=1 DG=1。 （4分）
②设平面AEFG的法向量=(x,y,z)，=(0,4,3)，=(-1,0,1)。
则：⊥，⊥ ∴·=4y＋3z=0 ·=－x＋z=0
故可求得一个法向量=(4,-3,4)，平面ABCD的法向量为=(0,0,1)
∴cosθ== ∴tanθ=。 （8分）
③由截面ACF将多面体分割成两个四棱锥A—BCFE与A—CDGF。
VA—BCFE=··1·4=
VA—CDGF=··1·4=
∴V= VA—BCFE＋VA—CDGF=8。 （12分）
