1801年，高斯发表了第一部有关数论的重要著作《算术研究》。该书共分7节，由于深奥难懂，犹如深埋在地底下的宝藏，因此被称为“七个封印的书”，即必须先打开这七个封印，才能窥得其中的奥秘。一些目光深邃的鉴定家给予这本书以高度评价。数学家拉格朗日热烈地称颂它，在1804年给高斯的信中写道：“你的《算术研究》使你立刻上升到第一流数学家的行列。”

　　数论是研究数学规律的学科。高斯在数论方面贡献突出，他说过“数学是科学的女王，数论是数学中的女王”。“同余”最早见于欧拉等人的著作，而在数论中引进同余并系统应用这个概念的却是高斯。高斯在19岁时就发现并用同余作为工具，首次证明了以前数学家未能证明的“二次互反律”，因为它非常重要，高斯称之为“黄金规律”。二次互反律是关于两个同余方程有没有解的关系式，是现代数论研究的出发点，由此开辟了数论中完全崭新的领域——代数数论。高斯的《算术研究》，标志了近代数论的开始，给高等算术提出了一个新方向。这样，在此前17至18世纪只是一堆五花八门、互不相干的特殊结果的数论，由于他采取了统一的形式，上升到在数学科学中与代数、分析几何同等的显赫地位。

　　2000多年来几何学一直是欧几里得的一统天下，高斯却大胆地怀疑这一传统，信心十足地向它发出挑战，认为“欧几”不是惟一真正的几何学，必定还有另一种几何学。经过不懈的努力，他终于发现了了非欧几何学”。尽管这一成果在当时未来得及发表，但高斯却是公认的非欧几何学的创立者。
　1827年，高斯又建立了微分几何中关于曲面的系统理论。他的曲面论是近代微分几何的开端。高斯在数学上的贡献还有很多。1800年发现了椭圆函数，1811年把微积分推广开来，发现了复变函数论的基本定理。高斯关于无穷级数的研究也有很大成就，指出了无穷级数的收敛性需要判定，并作出了判别法。1812年发表关于“超几何级数”的研究，这是在数学物理学研究中十分重要的“特殊函数”。由于高斯在数学领域的卓越贡献，后人将他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界上最伟大的数学家。

　　涉猎广泛成绩斐然

　　高斯一生的第二个伟大阶段开始于19世纪的第一天。这一天也是哲学史和天文学史上用红字标明的一天。皮亚齐在这天观察到一颗新的行星，后命名为谷神星。黑格尔对胆敢寻找第八颗行星的天文学家的讥讽言论也发表在这一天，他断言只能有七颗行星，他们的搜寻只是愚蠢的浪费时间。高斯凭他非凡的心算能力和超人的智慧、胆识，成功地推算出谷神星的运行轨道，并创立了行星椭圆轨道法(即行星的运行轨迹是一个椭圆，且符合这一规律)。不久，谷神星在预定的轨道被重新发现。谷神星的重新发现给高斯带来了巨大的声誉。数学家拉普拉斯称高斯是世界上最伟大的数学家。高斯总结了这种方法，于1809年写成《天体沿圆锥曲线绕日运动的理论》一书。这种方法沿用至今，且稍加改进，就适用于电子计算机。此外，高斯于静电学确立的高斯定理，以及利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像建立的高斯光学，也有很大贡献。高斯主张学以致用，他一生从事过大量实际工作，他的不少科研成果都具有实用价值。从1816年起的大约10年里，他主要从事大地测量的理论研究和野外勘测。1818年受汉诺威王国之聘用“三角测量法”测地，后来又到丹麦等地进行测地工作。当时交通极为不便，气候恶劣，加之资金不足，助手又少，然而重重困难并没有压倒高斯，在异常艰苦的条件下他坚持野外作业，数十年如一日。为了精确测量距离，他利用光学原理发明了回照器，并将“最小二乘法 ”和“青年物理学家韦伯来到哥廷根大学，担任物理学教授。韦伯的到来使高斯的研究中心转向物理学，二人很快成为莫逆之交，开始密切合作进行电磁实验。1832年高斯发表了地磁理论的经典论文，提出测定地磁强度的标准，并和韦伯一起发明了磁强针。1833年建立地磁观测站，成为当时研究地磁倾角变化的中心，后来又建立起德国磁观和韦伯共同绘制出世界上第一张地球磁场图，在图上标出了地磁南、电报的人，高斯和韦伯才是第一台电报机的发明者。这台电报机是记只包含一些曾使他煞费苦心的研究成果的简短说明，他希望像牛顿和阿基米德一样，在自己身后只留下完美的艺术品，要极其完美．达到增一分则多，减一分则少的地步。他生前发表的论文仅155篇．他大量的研究成果被束之高阁而无人知晓，其中就包括数学史上岛宝贵的文献——《科学日记》。直到高斯去世43年后的1898年，哥廷根皇家科学院才从他孙子手中借来这本日记。它由19张小八开纸组成，共146个发现或计算结果的简短说明，日记的最后一天县1814年7月9日。日记的内容大多没有发表。如果他公布了他的成果，至少数学要比目前的状况前进半个世纪或者更多，而数学家阿贝尔和雅可比就不必把他们的精力放在重新发现高斯早已知道的东西上了，非欧几何的创造者也可以把他们的天才转到别的研究上去。高斯为人处世和治学一样严谨，他爱独处，喜欢宁静，较少与人交往，因此他的周围没有形成一个人才济济、前呼后拥的学派。他一生淡泊名利，不汲汲于富贵功名，而是心襟坦荡，虚怀若谷，体现了一个伟大科学家的优秀品质和高尚人格。勒让德是高斯同时代的一位数学家，他是怀疑高斯者中最为直言不讳的一个。高斯在《天体运动理论》中提到自己很早发现的“最小平方法”，而勒让德愤怒地指责高斯欺世盗名。高斯则显然不屑于与他争名夺利，只是在给朋友的信中说：“我在1802年就发现了这个原理，并告诉了奥尔贝斯。”高斯几乎每一步都走到了勒让德的前面，令这位数学家愤愤不平，高斯本人也十分苦闷，他埋怨说：“看来我是命中注定，几乎在所有理论工作中都与勒让德撞车。”高斯逝世后，随着大量著述和通信的发表，人们才发现这场旷日持久的争论其实早就有了结果——高斯始终是赢方，只是他不屑于争辩罢了。

　　高斯一生勤奋好学，爱好广泛，他喜爱音乐、文学、唱歌，喜欢摘录佳句警言，尤其钟爱英国文学。高斯终生保持着青年时代掌握语言的能力和热情。在他年事日高的时候，常有意学习一种新语言，来检验他头脑的灵敏程度。62岁他开始学习俄文，两年不到即能阅读原著，且流畅地用俄语交流。他还关心世界政治，每天都要花一个小时读报，了解国内外的动态。在政治上高斯则是个保

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