在哥廷根大学是高斯一生中著述最丰的时期。由于斐迪南公爵的慷慨资助，高斯无衣食之忧，一心扑在研究上，仅交了很少几个朋友，其中就有高斯称之为“我所知道的最了不起的人物”——沃尔夫冈•鲍耶，他成了高斯的终生朋友，他俩的友谊与合作对非欧几何的产生具有重大意义。
1798年10月，高斯大学毕业，在论文中第一次证明了数学中的一个重要定理——代数学基本原理。这个定理说明，任何一元代数方程至少有一个根，这个定理保证了根的存在性，又叫“存在性定理”。这篇论文因此而轰动一时。1799年，赫尔姆斯泰特大学根据这篇论文，在高斯缺席的情况下授予他博士学位。
1801年，高斯发表了第一部有关数论的重要著作《算术研究》。该书共分7节，由于深奥难懂，犹如深埋在地底下的宝藏，因此被称为“七个封印的书”，即必须先打开这七个封印，才能窥得其中的奥秘。一些目光深邃的鉴定家给予这本书以高度评价。数学家拉格朗日热烈地称颂它，在1804年给高斯的信中写道：“你的《算术研究》使你立刻上升到第一流数学家的行列。”
数论是研究数学规律的学科。高斯在数论方面贡献突出，他说过“数学是科学的女王，数论是数学中的女王”。“同余”最早见于欧拉等人的著作，而在数论中引进同余并系统应用这个概念的却是高斯。高斯在19岁时就发现并用同余作为工具，首次证明了以前数学家未能证明的“二次互反律”，因为它非常重要，高斯称之为“黄金规律”。二次互反律是关于两个同余方程有没有解的关系式，是现代数论研究的出发点，由此开辟了数论中完全崭新的领域——代数数论。高斯的《算术研究》，标志了近代数论的开始，给高等算术提出了一个新方向。这样，在此前17至18世纪只是一堆五花八门、互不相干的特殊结果的数论，由于他采取了统一的形式，上升到在数学科学中与代数、分析几何同等的显赫地位。
2000多年来几何学一直是欧几里得的一统天下，高斯却大胆地怀疑这一传统，信心十足地向它发出挑战，认为“欧几”不是惟一真正的几何学，必定还有另一种几何学。经过不懈的努力，他终于发现了了非欧几何学”。尽管这一成果在当时未来得及发表，但高斯却是公认的非欧几何学的创立者。
1827年，高斯又建立了微分几何中关于曲面的系统理论。他的曲面论是近代微分几何的开端。高斯在数学上的贡献还有很多。1800年发现了椭圆函数，1811年把微积分推广开来，发现了复变函数论的基本定理。高斯关于无穷级数的研究也有很大成就，指出了无穷级数的收敛性需要判定，并作出了判别法。1812年发表关于“超几何级数”的研究，这是在数学物理学研究中十分重要的“特殊函数”。由于高斯在数学领域的卓越贡献，后人将他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界上最伟大的数学家。
涉猎广泛成绩斐然
高斯一生的第二个伟大阶段开始于19世纪的第一天。这一天也是哲学史和天文学史上用红字标明的一天。皮亚齐在这天观察到一颗新的行星，后命名为谷神星。黑格尔对胆敢寻找第八颗行星的天文学家的讥讽言论也发表在这一天，他断言只能有七颗行星，他们的搜寻只是愚蠢的浪费时间。高斯凭他非凡的心算能力和超人的智慧、胆识，成功地推算出谷神星的运行轨道，并创立了行星椭圆轨道法(即行星的运行轨迹是一个椭圆，且符合这一规律)。不久，谷神星在预定的轨道被重新发现。谷神星的重新发现给高斯带来了巨大的声誉。数学家拉普拉斯称高斯是世界上最伟大的数学家。高斯总结了这种方法，于1809年写成《天体沿圆锥曲线绕日运动的理论》一书。这种方法沿用至今，且稍加改进，就适用于电子计算机。此外，高斯于静电学确立的高斯定理，以及利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像建立的高斯光
