椭圆的变化情形可用偏心率e来表示。椭圆的偏心率是它的焦距与它的长径的比率，e通常是用下式来表示的。
c
e = （c是半焦距，a是半长径）
a
∵ c＜a，∴ e＜1
可以看出，焦距越大，e的值越接近于1，椭圆形状越扁；反之，焦距越小，e的值越接近于零，椭圆形状越变浑圆；当焦距为零，偏心率e=0时，椭圆也就转化为圆。从这个意义上说，可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形，即两个焦点重合的椭圆。
太阳系各个行星轨道的具体形状稍有不同。一般说来，它们的偏心率都很小，同圆形只有微小的差异。所以行星轨道可以近似地看作圆形，太阳的位置也可以近似地看作位于轨道的中心。这便是当年使开普勒绞尽脑汁的原因。
这一回又是几何学帮了天文学的大忙。假使没有古希腊人对圆锥曲线（平面截割圆锥所形成的曲线）的研究，这些美妙的定律也许不可能被发现。由于椭圆是圆锥曲线的一种，它那种圆而带扁的形状使开普勒想到火星可能在这样一种曲线的轨道上运动。跟着，利用古代几何学家对圆锥曲线寻找出来的许多性质，他肯定自己所作的假设是正确的，并将这两项发现推广到所有行星。
1609年，开普勒发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，公布了两个定律：
（一）所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。
这是行星运动第一定律 （也叫轨道定律）。
（二）在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。
这是行星运动的第二定律 （也叫面积定律）。
开普勒虽然摒弃行星等速度运动的偏见，但仍维护这一原则，只是把线速度相等换了个“面速度”相等。这使开普勒感到分外高兴。有了这个定律，可以计算任何时刻行星在轨道上的位置。
这两个重要的定律相继发现后，编制星表一事便轻而易举了。不仅“行踪诡秘”的火星永远逃不出星表的“囚笼”，驯服地沿开普勒给定的椭圆轨道运行，其余各个行星也都相继“被俘”。
奇妙的“2”和“3”
开普勒并不满足已取得的成就，他感到自己远远没有揭开行星运动的全部奥秘。他相信还存在着一个把全部行星系统连成一个整体的完整定律。
古人给了他启示，行星运行的快慢同它们的轨道位置有关，较远的行星有较长的运行周期。第二定律也表明，即使在同一轨道上，行星速度也因距太阳远近而变化。沿着这条思路，开普勒确信行星运动周期与它们轨道大小之间应该是“和谐”的。他要找出其间的数量关系来。
开普勒是怎样寻找这个关系的呢？他面对的只是一些观测数据，现在要在它们背后找出隐藏着的自然规律来，这就要求这位天文学家具有高度惊人的毅力和耐心。
开普勒和哥白尼一样，并不知道行星与太阳之间的实际距离，只知道它们距太阳的相对远近。他把地球作为比较标准：以日地平均距离（天文单位）为距离单位；以地球绕太阳运动周期 （一年）为时间单位。把各个行星的公转周期 （T）及它们与太阳的平均距离（R）排列成一个表，以探讨它们之间存在什么数量关系。
行星名称 公转周期 （T） 太阳距离 （R）
水星 0.241 0.387
金星 0.615 0.723
地球 1.000 1.000
火星 1.881 1.524
木星 11. 8625.203
土星 29.457 9.539
从这个表中可知，对水星而言，公转周期是0.241年，距离是0.387天文单位；而对金星来说，则分别为0.615年和0.723天文单位……余类推。这么一堆乱七八糟的数字能反映出什么规律性呢？像做数字游戏一样，开普勒对表中各项数字翻来复去作各式各样的运算：把它们互相乘、除、加、减；又把它们自乘；时而又求它们的方根……。这样，在很少有人了解和支持的困难情况下，他顽强地苦战达9年之久。经过无数次的失败，他终于找到一个奇妙的规律。他在原来的那个表里增添两列数字：
2 3
行星名称 公转周期 （T） 太阳距离 （R）周期平方 （T）距离立方 （R）
水星 0.241 0.3870.058 0.058
金星 0.615 0.7230.378 0.378
地星 1.000 1.0001.000 1.000
火星 1.881 1.5243.54 3.54
木星 11.862 5.203140.7 140.85
土星 29.457 9.539867.7 867.98
从这个表的后面两列数字里，我们可以看出这个奇妙的规律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。
即：
2 3
T=R
这就是行星运动的第三定律 （也叫周期定律）。
由此可知，行星同太阳的距离，可以根据该行星公转的恒星周期来计算，即：
2 2
R＝ T
这个谜一经猜破，似乎十分简单。但在谜底揭开之前，它着实叫开普勒耗尽心血。这对奇妙的“2”和“3”得来并非容易！
开普勒在获得这一成就时喜不自禁的写道：“……（这正是）我十六
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