诚然，上面只举了速度变量的例子。因为牛顿恰恰是从研究力学出发，考虑了速度的变化，从而建立了微积分计算方法。微积分是近代自然科学和工程技术中一种基本的数学工具，是计算变量和变率的特殊数学方法。由变量计算变率的称为微分，而由变率计算变量的叫做积分。微分和积分是一对逆运算，就像加法和减法、乘法和除法互为逆运算一样。

　　事实上，变量问题在自然科学领域里比比皆是。花开两枝，各占一半。莱布尼茨也是从变量问题出发来展开对微积分的研究的，不同的只是，莱布尼茨另有侧重，采取了切线概念方法。

　　莱布尼茨在切线曲线中截取极为短的一段曲线，并把它看作是一条与曲线相切的近似直线段，而相邻切线线段的变化也就相当于那一段曲线的变化。莱布尼茨认为，在计算被曲线包围部分的面积时，可以将它们分成无限多个极小的矩形，这无限多个极小矩形面积的总和，即近似等于被曲线包围部分的面积。由此可见，牛顿与莱布尼茨在建立微积分上确实有异曲同工之妙。

　　关于发明微积分的优先权，从牛顿和莱布尼茨在世时就开始发生争执，虽然牛顿关于微积分的著作正式发表在1704年，莱布尼茨的发表于1684年，但牛顿在1665年、1666年写的论文手稿中就已经清楚地论述了微分的概念与方法。总之，他们是各自独立进行了关于微积分的研究，并取得成果的。

　　微积分的生产，是数学发展史的重要里程碑，为人类的生产、生活开辟了方便的渠道。过去需要用特殊技巧分别处理的一些困难问题，现在人们可以用一般性的解决办法，即微积分来进行简单易行的运算。正如我们今天所知道的，现代理工科学以及工程技术，可以说没有一门离得开微积分。就是牛顿本人，一方面他从研究力学出发完成了微积分的研究，另一方面他也运用微积分在光学、力学等物理学领域里有了新的重大的建树。

　　光与色的研究

　　1669年，巴罗教授认为牛顿的造诣和才能已在自己之上，于是毅然辞去剑桥大学卢卡斯讲座(由一位姓卢卡斯的人出资设立的职位)的数学讲席，把它拱手让给了自己的学生牛顿。从这年开始，牛顿担任了卢卡斯数学教授，成为剑桥大学公认的大数学家。

　然而，值得玩味的是，牛顿走上讲台，向大学生们讲的第一门学科，不是数学，而是光学；他发表的第一篇正式的科学论文，谈的也是光学，由此可知牛顿对光学的重视。

　　牛顿在避居故乡期间，曾磨制了一些各种形状的光学透镜。他用其中的一块进行实验操作。为了做好实验，他布置了一间暗室，只在窗板上开一个圆形的小孔，让太阳光射入。在小孔前面放了一个三棱镜，太阳一照，对面的墙上立即出现了鲜艳的像彩虹一样的光影：最上面的是红色，以下依次是橙、黄、绿、青、蓝、紫共七色。牛顿惊异地发现，圆形的太阳光线经过这一散射，居然成了一道道平行的长条形彩色光谱!

　　这一偶然的发现经过反复实验终于得到证实：白色光线之所以能散射成彩色的光谱，绝不是偶然的，而是由于白光本身就是由折射率不同的各种彩色光线混合组成的。当它透过三棱镜时，紫色光线的折射率最大，其次是蓝色……折射率最小的是红色光线，以致在三棱镜后面形成了彩色光谱。太阳光透过蒙蒙雨雾时，产生美丽的七彩虹，也是同样的原理。

　　这一闪光的实验，为后来的科学家们创立光谱学开辟了道路。他们将光谱拍成照片，测量光的波长，对燃烧着的物质进行光谱分析等等。结果，非但测定了组成太阳的物质是什么，而且发现了以前根本不知道的新元素，如铯、铷、铊、铟、氮……

　　通过对于光线折射的研究，牛顿还认为，望远镜里出现的妨碍视线的各种色彩，正是由于白色光线透过透镜时产生的。这是一个对于制造望远镜颇有实用价值的结论。但是，牛顿却做了一个错误的断定。他认为，对于当时人们使用的折射望远镜来说是个无法克服的缺点，即使磨制出再完善的透镜也无法避免白色光线透过透镜产生各种色彩，从而妨碍视线。然而，歪打正着，正是由于这一错误的结论，牛顿发明了一种新型的望远镜——反射望远镜。

　　反射望远镜的发明，引起了人们极大的兴趣。牛顿很快被提名为皇家学会的候补会员。1672年1月，又被选为正式会员。就在这时，他将自己的第一篇正式的科学论文《关于光和色的新理论》送交皇家学会讨论审查。这篇论文总结了他过去在光学方面的实验和理论，提出了光的本质是“微粒”的见解。在此以前，笛卡尔也主张微粒说，认为光是由发光体发出的弹性微粒组成的，是直线进行的。与牛顿同时代的英国科学家罗伯特•胡克以及荷兰数学家、物理学家惠更斯则主张“波动说”，认为光是一种机械波，由发光体引起，同声音一样依靠媒质来传播。微粒说与“波动说”在当时互为补充。虽然微粒说从现代科学的眼光来看不够完善，但它与现代用量子论解释光的本质的见解有十分相似之处，即认为光的物质结构基本上是原子的。所以，一位英国学者说：“单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学史上的头等人物。”

　　万有引力定律和运动定律

　　我们知道，地球旋转时，地上的人、屋、树木与海洋都跟着地球一道转动。但是怎样才能把这种认为与地面上的静止状态统一起来呢?为了解答这个问题，牛顿曾设想，有一根高出地面若干公里的旗杆，杆顶上放一块石头，那么经过同样长的时间后，这块石头所经过的圆弧肯定大于杆下的人所经过的圆弧，所以说，旗杆上的石头的运动速度比地面上人的运动速度要快一些。

　　怀着愉悦的心情，牛顿把这一设想写信告诉了胡克，他说：假如石头忽然从杆顶往下落，由于地球是由西向东转，所以石头应该落在杆顶和地心的连接线东面的某一点上。胡克对于牛顿信中提出的实验着了迷，他决心用实验来证明牛顿设想的正确性。令人遗憾

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