罗巴切夫斯基从1816年开始着手平行公设的证明，后来果然发现了其中不完善的地方。这就是欧几里得平行公设是在平面的基础上得到的，只适用于平面几何，它对于曲面则无法适用。罗巴切夫斯基看到了这一点，并且认为曲面几何在几何学中也占有重要的地位。1823年完成的《几何学》，是他关于新思想的第一部著作。在书中，他摆脱了欧几里得的传统，放弃了欧几里得平行公设，开始采用新的平行公设作为几何学的基础：“通过直线L外一点P，在L和P决定的平面上，至少可作两条直线与L不相交，而不是欧几里得说的只有一条不相交直线。”这个假设被称为罗巴切夫斯基平行公设，这里所提到的L和P决定的平面，不是传统意义上的欧几里得平面，而是罗巴切夫斯基平面，严格说来，它实际上是一个“双叶双曲面”。

　　曲面上得到的罗巴切夫斯基平行公设显然不同于传统的欧几里得平面上得到的平行公设，这个不同就在于它们是在不同的情况下得出的，欧几里得平行公设是建立在扁平的平面上，而罗巴切夫斯基的平行公设则是建立在弯曲的曲面上。罗巴切夫斯基的平行公设很难在人们的头脑中想象出来，为此，德国数学家克莱因后来用射影的方法对罗巴切夫斯基平面和它的平行公设做了直观的解释。他认为，整个罗巴切夫斯基平面可以射影到欧几里得平面上，这时它是一个圆的内部，并且罗巴切夫斯基平面上的已知直线是圆的弦，已知点是圆的点，过该点且与已知直线相交于圆周上的弦是已知直线的平行线，与已知直线不相交的弦是它的不相交直线，这样一来，我们就不难理解，为什么罗巴切夫斯基断言过直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交了！
　1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在喀山大学宣读了他的论文《几何原理和平行理论的严格证明简述》，提出了他的平行公设的要点，阐明了他所发明的“虚几何学”的原理，由此建立起与欧几里得几何完全不同的几何学，为数学树立了人类思想的一个里程碑，这一天被后人公认为非欧几里得几何学诞生的日子。

　　罗巴切夫斯基勇敢地指出了欧几里得平行公设的缺点，建立了自己的平行公设，并且提出了大胆的设想：“欧几里得几何并不是惟一可想象出的几何。”之后他又在《喀山大学学报》等刊物上发表论文，进一步对自己的新几何学进行了全面的、系统的叙述，先后得出了其他一系列前后一贯的命题。例如：由直线外的任何点向这条直线作垂线，垂线与平行于这条直线并通过已知点的直线组成的角不等于直角，且小于直角，这样的角叫做平行角，点离已知直线越远，平行角则偏离直角越大；三角形内角和小于两直角，并且当三角形面积越大时，内角和偏离两直角就越大；相似三角形不可能存在，对应角相等的三角形只能是全等三角形，等等。这一系列命题与我们所熟悉的欧几里得几何存在着本质上的差异，正是它们构成了罗巴切夫斯基新的几何学，这是第一种非欧几里得几何学。它是几何学中的一个重要分支，它的创立，打破了2000多年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上革新和拓宽了人们对几何学观念的认识，它首先提出了弯曲的空间，为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，为几何学乃至整个数学及其应用开辟了崭新的途径，并对后来力学、物理学和哲学事业的发展起了巨大的推动作用。

　　最后需要指出的是，尽管罗巴切夫斯基几何学和欧几里得几何学存在着本质的区别，但它们之间仍然存在联系：欧几里得几何学存在于通常人们的认识范围之内，而罗巴切夫斯基几何学则适用于从微观世界到无穷宇宙的大范围内，它包括了欧几里得几何学。比如，在欧几里得几何学里，认为平行角是直角，而在罗巴切夫斯基几何学里，平行角不一定是直角，它与直角之间有一个偏差，并且这个偏差与点到直线的距离有关，通常情况下这个偏差小得可以忽略不计，这时它得到的结论与欧几里得几何是一致的，只有当距离非常大时，它才会产生不能忽视的偏离，这种非常大的距离往往超越了人们所能想像到的情况，比如，在宇宙的大范围内。由于运用欧几里得几何学比运用罗巴切夫斯基几何学更为简单，所以欧几里得几何学对于人们平时的实用目的尚能保持自己的意义，但是如果为了研究宇宙空间或者微观世界现象的测量问题，那么欧几里得几何学便不再适用，而必须使用罗巴切夫斯基几何学，这样，罗巴切夫斯基几何学就显得是更普遍的几何学，是对欧几里得几何学的完善和发展。

　　“经典”的挑战者

　　罗巴切夫斯基提出与欧几里得平行公设相对立的平行公设，由此在数学上做出了重大贡献，这与他在科学中坚持真理、敢于向“经典”挑战的精神是分不开的。其实，在罗巴切夫斯基发现平行公设的：不可证明性和非欧几里得几何原理的同时，匈牙利的鲍耶和德国的高斯也发现了这一点，可是由于种种原因，前者中途退缩，后者望而匪却步，他们都没有将创建非欧几里得几何学的事业进行到底。惟有隧勇敢的罗巴切夫斯基，凭借对真理的执著精神，冲破传统观念的束缚，公开宣布了这一新的学术思想，这使早已接受了欧几里得几何的人们目瞪口呆，无法理解。

　　任何一个新思想的提出、成长，都不是一帆风顺的，它总是要遭受来自于那些保守势力的嘲笑、攻击，罗巴切夫斯基几何学也不例外。他提出自己的新思想后，经过3年时间的整理，在《喀山大学学报》上发表了《论几何学基础》一书，这一举措立即遭到了科学界保守势力的讥笑和攻击。他们群起而攻之，把这种几何说成是“笑话”，是“对有学问的数学家的讽刺”，是“荒唐透顶的伪科学”。学报送交圣彼得堡科学院后，也被审稿院士轻率地认为，罗巴切夫斯基的论文“不值得科学院去注意”。学者们的强烈指责，使罗巴切夫斯基在几何学中的新思想一时竟成了人们谈论的笑料。除此之外，参与对罗巴切夫斯基嘲笑、围攻的人遍及各阶层、各方面的人士，比如，著名德国诗人歌德就曾在他的《浮士德》中写道：“有几何兮，名为非欧，自己嘲笑，莫名其妙。”

　　面对来自四面八方的狂风暴雨，罗巴切夫斯基无所畏惧，丝毫没有向舆论屈服，他始终坚信自己的几何学创新思想的正确性和革命性。1842年，罗巴切夫斯基由高斯引荐为哥廷根大学科学协会会员，这使他多少得到了一点安慰，因为高斯这位数学界的泰斗对他的工作给予了理解和支持。

　　真理是需要时间考验的，罗巴切夫斯基的学术思想在他生前一直没有引起学术界的重视，他一辈子生活在被嘲弄的嘘声中，几乎没有得到过人们对他的赞誉。时代在不断前进，科学在不断发展，20世纪初，相对论诞生了，人们的时空观也随之大变，对此，欧几里得几何表现得束手无策，非欧几何学马上显示出优势来了，成了天体测量和描述广义相对论的有力工具，在宇宙大范围的测量中得到了广泛的应用。至此，人们才深切地感到罗巴切夫斯基创新

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