被采用。虽然黎曼几何学的有些定理与欧几里得几何相同，但多数是不同的。例如，在欧几里得几何中两条平行线，处处有相同的距离，而在黎曼几何中，平行线不存在；在欧几里得几何中，三角形三内角之和等于两直角，而在黎曼几何中，其和小于两直角。在欧几里得几何中，面积不等的多边形可以相似，而在黎曼几何中，不存在面积不等的相似多边形。所以在大的范围里，与欧氏几何有着很大的区别。黎曼揭示了不同于欧几里得几何的各种几何的可能性，他的这一工作，引出了深远的结果，而且有益于相对论。

　　提出“黎曼猜想”

　　几千年前，人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数(或质数)，古希腊数学家欧几里得用反证论证明了在正整数集合里有无穷多的素数。著名数学家欧拉在1737年给了欧几里得定理的另外一个巧妙的证明。 对于S是实数的情况，欧拉证明当S>1时，级数收敛。利用这个结果，欧拉又证明了素数的倒数是发散的。

　　但是，欧拉没有考虑当s是复数时，zeta函数的敛散情况。1859年，黎曼发表著名论文《论小于已知数的素数的个数》，该文刊登在1859年11月柏林科学院的月报上，其时黎曼33岁。在这篇论文中，黎曼第一个成功地把zeta函数作为复变数Js(M+劫)的函数来加以研究。
　　这就是世界著名的数学难题之一——“黎曼猜想”。它的解决意义十分重大。无论谁证明了它成立或证明它不成立，都将给自己带来荣誉，并将附带解决素数理论、高等数学的其他部分，以及一些分析学领域中的许多极为困难的问题。1900年夏，在巴黎举行的展望新世纪的国际数学家代表大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个尚待解决的数学难题，“黎曼猜想”被列为第8个问题，希尔伯特称它是“极重要的黎曼命题”。根据希尔伯特的推测，对黎曼猜想进行彻底讨论之后，人们或许就能够去严格地解决哥德巴赫问题。黎曼猜想虽然至今未能解决，但是一个世纪以来数学家们还是通过顽强的努力取得了不少进展。

　　英年早逝

　　在100多年前的法国大学，只有正式的教授才能领到政府的津贴，有资格开设正规的课程，并由此可以收取学生交的学费。黎曼在1854年成为哥廷根大学的讲师，黎曼可以开课，可是学数学的学生不太多，而且黎曼得不到政府的任何津贴，因此他的生活是很贫苦的。他的父亲是清贫的小乡村牧师，因此也不可能对黎曼的经济有什么帮助，尽管他常因贫穷而生病，可是他仍顽强地在数学上钻研，不因健康和经济而动摇对数学研究的爱好。这一状况一直延续到1859年狄利克雷去世，黎曼继承他的职位。之后，他的经济状况才有些好转，但因长期营养不良及工作劳累，他的身体每况愈下。

　　1862年他和一个朋友的妹妹伊丽莎•康希(Evise Koch)结婚，第二年有了女儿比萨，可就在这一年，他的病情却变得越来越严重了，以至于不得不放下手中的工作去养病。他最后的日子是在骄利湖畔的塞拉斯卡的一栋别墅中度过的。传记作家是如此讲述着黎曼怎样离开人间的：“他的力气迅速衰退，他感到自己的终点近了。去世的前一天，他坐在一棵无花果树下工作，在环绕着他的灿烂的风景中，他的心灵充满了愉悦……他的生命缓缓地衰竭，没有斗争或死亡的痛苦，看起来他仿佛很有兴趣地注视着灵魂脱离躯体……”这时正是1866年7月20日，黎曼轰轰烈烈的一生却在悄无声息中告别了人间，享年仅39岁。在他的意大利的朋友们为他竖立的墓碑上，铭文的最后一句是：“凡爱上帝者必诸事顺遂。”

　　黎曼具有很强的数学天赋，这天赋使他超越了当代的数学家。在他的兴趣被激发的领域，他不管当局是否会接受他的研究，也不让传统来误导他。然而，由于经济拮据，再加上过度劳累，他像流星一样出现然后消失，他活跃的时间只不过15年，他的著作也不多，但却异常深刻，极富于概念的创造与想象。他的思想对现代函数论发展的影响是缓慢而逐渐的，他的工作不会在当时引起突然的革命，但却直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。人们永远不会忘记这位英年早逝的数学家。

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