1854年在取得哥廷根大学的哲学博士学位后，黎曼想谋取讲师职位。为此，他得做一次就职演讲。为了对付这次严峻的考验，黎曼提交了三个题目由老师们从中选择，他希望他们会选中前两个题目中的一个，因为前两个题目他早已经准备好了，但使黎曼失望的是，高斯指定了黎曼轻率地提出的第三个题目——“几何基础”。在没多少准备的情况下，黎曼在1854年所做的讲演《论作为几何基础的假设》不仅是数学上的一篇杰作，而且在表述方面也堪称典范，为此高斯兴奋不已，并顺利地让黎曼获得了讲师职位。
提出“黎曼几何学”
2000多年来，人们一直认为欧几里得平面几何学是反映现实世界惟一正确的几何学。19世纪20～30年代非欧氏几何的诞生使人们从这一思想中解放出来。在数学史中，很少有一个分支能像非欧氏几何那样对人类的认识史发生如此深刻的影响，其代表人物主要有高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基，其中著作最多并为确立和发展非欧几何而始终不渝的当推罗巴切夫斯基。罗巴切夫斯基从宇宙弯曲的空间特性出发，对欧氏的平行公理(常称第五公设)进行改进，而得出了三角形的内角和小于两直角的公理，从而推翻了欧几里得几何学的惟一性的传统观念，这一思想一般简称为“罗氏几何”。
1854年，黎曼在《关于几何基础的假设》的演说中，站在微观空间的立场，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几何，即黎曼几何，被称为椭圆几何，是非欧几里得几何的一种。它完全排除欧几里得的第五公设，并对第二公设加以修改。欧几里得的第五公设是：经给定直线外的一点，有惟一的一条直线与之平行，在黎曼几何学中没有与给定直线平行的直线。欧几里得的第二公设是：有限直线段可以无限延长。在黎曼几何学中，有限的直线段可以无限延长，但所有直线有相同的长度。欧几里得的其余三个公设仍、
被采用。虽然黎曼几何学的有些定理与欧几里得几何相同，但多数是不同的。例如，在欧几里得几何中两条平行线，处处有相同的距离，而在黎曼几何中，平行线不存在；在欧几里得几何中，三角形三内角之和等于两直角，而在黎曼几何中，其和小于两直角。在欧几里得几何中，面积不等的多边形可以相似，而在黎曼几何中，不存在面积不等的相似多边形。所以在大的范围里，与欧氏几何有着很大的区别。黎曼揭示了不同于欧几里得几何的各种几何的可能性，他的这一工作，引出了深远的结果，而且有益于相对论。
提出“黎曼猜想”
几千年前，人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数(或质数)，古希腊数学家欧几里得用反证论证明了在正整数集合里有无穷多的素数。著名数学家欧拉在1737年给了欧几里得定理的另外一个巧妙的证明。 对于S是实数的情况，欧拉证明当S>1时，级数收敛。利用这个结果，欧拉又证明了素数的倒数是发散的。
但是，欧拉没有考虑当s是复数时，zeta函数的敛散情况。1859年，黎曼发表著名论文《论小于已知数的素数的个数》，该文刊登在1859年11月柏林科学院的月报上，其时黎曼33岁。在这篇论文中，黎曼第一个成功地把zeta函数作为复变数Js(M+劫)的函数来加以研究。
这就是世界著名的数学难题之一——“黎曼猜想”。它的解决意义十分重大。无论谁证明了它成立或证明它不成立，都将给自己带来荣誉，并将附带解决素数理论、高等数学的其他部分，以及一些分析学领域中的许多极为困难的问题。1900年夏，在巴黎举行的展望新世纪的国际数学家代表大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个尚待解决的数学难题，“黎曼猜想”被列为第8个问题，希尔伯特称它是“极重要的黎曼命题”。根据希尔伯特的推测，对黎曼猜想进行彻底讨论之后，人们或许就能够去严格地解决哥德巴赫问题。黎曼猜想虽然至今未能解决，但是一个世纪以来数学家们还是通过顽强的努力取得了不少进展。
英年早逝
在100多年前的法国大学，只有正式的教授才能领到政府的津贴，有资格开设正规的课程，并由此可以收取学生交的学费。黎曼在1854年成为哥廷根大学的讲师，黎曼可以开课，可是学数学的学生不太多，而且黎曼得不到政府的任何津贴，因此他的生活是很贫苦的。他的父亲是清贫的小乡村牧师，因此也不可能对黎曼的经济有什么帮助，尽管他常因贫穷而生病，可是他仍顽强地在数学上钻研，不因健康和经济而动摇对数学研究的爱好。这一状况一直延续到1859年狄利克雷去世，黎曼继承他的职位。之后，他的经济状况才有些好转，但因长期营养不良及工作劳累，他的身体每况愈下。
1862年他和一个朋友的妹妹伊丽莎•康希(Evise Koch)结婚，第二年有了女儿比萨，可就在这一年，他的病情却变得越来越严重了，以至于不得不放下手中的工作去养病。他最后的日子是在骄利湖畔的塞拉斯卡的一栋别墅中度过的。传记作家是如此讲述着黎曼怎样离开人间的：“他的力气迅速衰退，他感到自己的终点近了。去世的前一天，他坐在一棵无花果树下工作，在环绕着他的灿烂的风景中，他的心灵充满了愉悦……他的生命缓缓地衰竭，没有斗争或死亡的痛苦，看起来他仿佛很有兴趣地注视着灵魂脱离躯体……”这时正是1866年7月20日，黎曼轰
