1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。

    为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

    黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。

    黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。

    黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。

    黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。

    在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。

    由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。

微积分理论的创造性贡献

    黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。

    18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。

    1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。

    柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续

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